1.8.2 基爾霍夫定律
1.8.2 基爾霍夫定律
在電路中，支路電流和支路電壓受到兩類約束。一類是元件特性構(gòu)成的約束。如線性電阻元件的電壓和電流在關(guān)聯(lián)參考方向條件下必須滿足u=Ri的關(guān)系，這種關(guān)系稱為元件的組成關(guān)系或電壓電流關(guān)系（VCR）。另一類是元件之間相互連接所帶來的支路電流和支路電壓之間的約束關(guān)系，這類約束關(guān)系稱為拓撲約束。基爾霍夫定律就是描述這類約束關(guān)系的電路定律，它是電路中電壓和電流所遵循的基本規(guī)律，是分析和計算較為復(fù)雜電路的基礎(chǔ)，包括基爾霍夫電流定律（KCL）和基爾霍夫電壓定律（KVL）。基爾霍夫定律既可以用于直流電路分析，也可以用于交流電路分析，還可以用于含有電子元件的非線性電路分析。
1.基爾霍夫電流定律（KCL）
基爾霍夫電流定律（KCL）指出：在集總電路中，任何時刻，對于任一節(jié)點，所有流入該節(jié)點的支路電流的代數(shù)和恒等于零，即
∑i=0 （1-20）
此處，電流的代數(shù)和是以電流流出節(jié)點還是流入節(jié)點來判斷的。根據(jù)電流的參考方向，流入節(jié)點的電流前面取“+”號，流出節(jié)點的電流前面取“-”號。
如圖1-22所示，對節(jié)點a列寫KCL方程，有
-i1-i2+i3=0
圖1-22 KCL示意圖
上式可改寫為
i3=i1+i2
此式表明，流入a節(jié)點的支路電流之和等于流出該節(jié)點的支路電流之和。因此，KCL也可表述為：在集總電路中，任何時刻，流入任一節(jié)點的支路電流之和恒等于流出該節(jié)點的支路電流之和。
KCL不僅適用于電路中的任一節(jié)點，還適用于包含幾個節(jié)點的閉合面S。在圖1-22中，虛線包圍的閉合面S包含b、c、d共3個節(jié)點，對其中的每個節(jié)點列寫KCL方程，有
i1-i4+i6=0
i2+i4-i5=0
-i3+i5-i6=0
將以上三式相加，得到閉合面S的電流的代數(shù)和為
i1+i2-i3=0
其中，i1和i2流入閉合面，i3流出閉合面。
可見，通過一個閉合面的支路電流的代數(shù)和恒等于零，或者說，流入閉合面的電流之和恒等于流出同一閉合面的電流之和。KCL的實質(zhì)是電流連續(xù)性的原理，也是電荷守恒定律的具體體現(xiàn)。基爾霍夫電流定律是確定電路中任意節(jié)點處各支路電流之間關(guān)系的定律，因此又稱為節(jié)點電流定律。
2.基爾霍夫電壓定律（KVL）
基爾霍夫電壓定律（KVL）指出：在集總電路中，任何時刻，沿任意回路，所有支路電壓的代數(shù)和恒等于零，即
∑u=0 （1-21）
應(yīng)當(dāng)指出：在列寫回路電壓方程時，首先要對回路選取一個回路“繞行方向”，各電壓變量前的正、負號取決于各電壓的參考方向與回路“繞行方向”的關(guān)系（是相同，還是相反）；各電壓值的正、負，反映了該電壓的實際方向與參考方向的關(guān)系（是相同，還是相反）。通常規(guī)定，對參考方向與回路“繞行方向”相同的電壓取正號，對參考方向與回路“繞行方向”相反的電壓取負號。回路“繞行方向”是任意選定的，通常在回路中以虛線表示。
在圖1-23中，由元件（1，3，4，6）構(gòu)成的回路指定繞行方向如圖中所示。對該回路列寫KVL方程，有
-u1+u3+u6-u4=0
圖1-23 KVL示意圖
由上式可知：
u6=u1-u3+u4
上式說明，對于節(jié)點b、c來說，不論是沿著由元件6構(gòu)成的路徑，還是沿著由元件（1，3，4）構(gòu)成的路徑，節(jié)點間的電壓值是相等的。KVL實質(zhì)上是電壓與路徑無關(guān)這一性質(zhì)的具體反映。
KVL通常應(yīng)用于回路，但對于一段不閉合電路也可以應(yīng)用。如圖1-24所示，設(shè)a、b端子間電壓為uab，對于由a、b端子以及元件（1，2，3）所構(gòu)成的一段不閉合路徑，按圖示繞行方向應(yīng)用KVL，可得
圖1-24 KVL應(yīng)用于不閉合路徑
u1+u2-u3-uab=0
進一步求得：
uab=u1+u2-u3
上式說明：電路中任意兩點之間的電壓等于由起點到終點沿途各電壓的代數(shù)和，電壓方向與路徑方向（由起點到終點的方向）一致時為正，相反取負。
基爾霍夫定律僅與元件的互相連接有關(guān)，與元件的性質(zhì)無關(guān)。因此，無論元件是線性的還是非線性的，是時變的還是時不變的，基爾霍夫定律對于集總電路是普遍適用的。
利用KCL和KVL求解電路時，應(yīng)對電路中的各節(jié)點和支路編號，并指定回路的繞行方向，同時指定各支路電流和支路電壓的參考方向。一般兩者取關(guān)聯(lián)參考方向。
【例1-4】如圖1-25所示，R1=2Ω，R2=3Ω，R3=2Ω，us1=4V，us2=6V，求支路電流i1、i2和i3。
圖1-25 例1-4的圖
解：各支路電流和電壓的參考方向如圖中所示。求解時，除了需要應(yīng)用KCL和KVL外，還要用到元件的VCR。對節(jié)點①應(yīng)用KCL，有
i1+i2-i3=0
對于回路Ⅰ和Ⅱ，按圖示繞行方向分別列寫KVL方程，有
回路Ⅰ：-us1+u1+u3=0
回路Ⅱ：us2-u3-u2=0
由元件的VCR可知：u1=R1i1，u2=R2i2，u3=R3i3，分別代入回路Ⅰ和Ⅱ的KVL方程，有
回路Ⅰ：-us1+R1i1+R3i3=0
回路Ⅱ：us2-R3i3-R2i2=0
將各元件參數(shù)值代入，并與KCL方程聯(lián)立，有