機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件相對于機(jī)架所能有的獨(dú)立運(yùn)動的數(shù)目稱為機(jī)構(gòu)自由度。若機(jī)構(gòu)中沒有獨(dú)立運(yùn)動的數(shù)目，則該機(jī)構(gòu)無法運(yùn)動。因此討論機(jī)構(gòu)的自由度個(gè)數(shù)與機(jī)構(gòu)能否產(chǎn)生相對運(yùn)動有著必然的聯(lián)系。
如前所述，每個(gè)活動構(gòu)件在平面內(nèi)都有三個(gè)自由度，當(dāng)兩個(gè)構(gòu)件組成機(jī)構(gòu)時(shí)必然要增加運(yùn)動副，它們的相對運(yùn)動就會受到約束，自由度相應(yīng)地減少，不同種類的運(yùn)動副引入的約束數(shù)不同。在平面機(jī)構(gòu)中每引入一個(gè)低副，就限制了兩個(gè)自由度；每引入一個(gè)高副，就限制了一個(gè)自由度。因此，如果一個(gè)平面機(jī)構(gòu)中有n個(gè)活動構(gòu)件，這些活動構(gòu)件的自由度總數(shù)為3n；在機(jī)構(gòu)中如果存在PL個(gè)低副，低副引入的約束數(shù)為2PL，機(jī)構(gòu)自由度的個(gè)數(shù)就相應(yīng)地減少2PL；在機(jī)構(gòu)中如果還存在PH個(gè)高副，而高副引入的約束數(shù)為PH，則機(jī)構(gòu)自由度的個(gè)數(shù)就又相應(yīng)地減少PH。如果機(jī)構(gòu)的自由度個(gè)數(shù)用F表示，則機(jī)構(gòu)自由度個(gè)數(shù)為
上式就是計(jì)算平面機(jī)構(gòu)自由度的公式。
例1-4 計(jì)算如圖1-10所示顎式破碎機(jī)的主體機(jī)構(gòu)的自由度。
解：由圖可知，該機(jī)構(gòu)共有3個(gè)活動構(gòu)件，4個(gè)轉(zhuǎn)動副，沒有高副，即n=3、PL=4、PH=0。由式（1-1）可得
F=3n-2PL-PH=3×3-2×4-0=1
例1-5 計(jì)算如圖1-12所示活塞泵及其機(jī)構(gòu)的自由度。
解：由圖可知，該機(jī)構(gòu)共有4個(gè)活動構(gòu)件，4個(gè)轉(zhuǎn)動副和1個(gè)移動副（共5個(gè)低副），1個(gè)高副，即n=4、PL=5、PH=1。由式（1-1）可得
F=3n-2PL-PH=3×4-2×5-1=1
2.計(jì)算機(jī)構(gòu)的自由度時(shí)應(yīng)注意的問題
在計(jì)算平面機(jī)構(gòu)自由度時(shí)，還有一些特殊的問題需要注意，否則會導(dǎo)致自由度計(jì)算錯(cuò)誤，因此將注意事項(xiàng)做個(gè)說明。
（1）復(fù)合鉸鏈 由三個(gè)或三個(gè)以上構(gòu)件在同一條軸線上形成的轉(zhuǎn)動副稱為復(fù)合鉸鏈。如圖1-13a所示為組合機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖，C處是由構(gòu)件2、構(gòu)件3與構(gòu)件4通過同一根軸線形成的復(fù)合鉸鏈，其具體結(jié)構(gòu)如圖1-13b所示，同理，由N個(gè)構(gòu)件組成的復(fù)合鉸鏈包含的轉(zhuǎn)動副數(shù)目應(yīng)為（N-1）個(gè)。因此，該機(jī)構(gòu)在C點(diǎn)為含有兩個(gè)轉(zhuǎn)動副的復(fù)合鉸鏈，而在A、B、D、E、F點(diǎn)各有一個(gè)轉(zhuǎn)動副。所以該機(jī)構(gòu)共有5個(gè)活動構(gòu)件，7個(gè)轉(zhuǎn)動副，沒有高副，即n=5，PL=7，PH=0。由式（1-1）可得
F=3×5-2×7-0=1
圖1-13 組合機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖及復(fù)合鉸鏈
1-4復(fù)合鉸鏈
（2）局部自由度 局部自由度是指機(jī)構(gòu)中某些構(gòu)件所具有的自由度僅與其自身的局部運(yùn)動有關(guān)，不影響其他構(gòu)件運(yùn)動，即對整個(gè)機(jī)構(gòu)運(yùn)動無關(guān)的自由度。在計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)應(yīng)將局部自由度排除。
如圖1-14a所示的凸輪機(jī)構(gòu)，為了減小接觸面間的摩擦和磨損，在從動件端部安裝了滾子。可以看出，凸輪1繞著O點(diǎn)回轉(zhuǎn)時(shí)，從動件2上下移動，滾子繞著B點(diǎn)轉(zhuǎn)動，滾子轉(zhuǎn)動的速度與從動件2的運(yùn)行速度無關(guān)，所以滾子繞其中心的轉(zhuǎn)動是一個(gè)局部自由度。
如果直接用式（1-1）對如圖1-14a所示機(jī)構(gòu)計(jì)算自由度，可知n=3、PL=3、PH=1，故機(jī)構(gòu)自由度為F=3×3-2×3-1=2。但機(jī)構(gòu)的實(shí)際自由度為1，計(jì)算結(jié)果中包含了一個(gè)滾子的局部自由度。為了在計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)排除這個(gè)局部自由度，可設(shè)想將滾子與從動件焊成一體（轉(zhuǎn)動副B也隨之消失），轉(zhuǎn)化成如圖1-14b所示形式。用式（1-1）對其進(jìn)行自由度計(jì)算，此時(shí)該機(jī)構(gòu)的n=2、PL=2、PH=1，故F=3×2-2×2-1=1，與機(jī)構(gòu)的實(shí)際自由度相等。
圖1-14 局部自由度
（3）虛約束 在機(jī)械應(yīng)用中，常常為了增加機(jī)構(gòu)的剛度或保證機(jī)械運(yùn)動的順利進(jìn)行，而增加一些重復(fù)作用的構(gòu)件或運(yùn)動副，但加入的這些構(gòu)件和運(yùn)動副對整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)行不會產(chǎn)生任何影響。這種對機(jī)構(gòu)間的相對運(yùn)動不起獨(dú)立限制作用的約束稱為虛約束。在計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)，將具有虛約束運(yùn)動副的構(gòu)件連同它所帶入的與機(jī)構(gòu)運(yùn)動無關(guān)的運(yùn)動副一并不計(jì)。
平面機(jī)構(gòu)中的虛約束常出現(xiàn)在下列場合。
1）重復(fù)的運(yùn)動軌跡。在機(jī)構(gòu)中，若將兩構(gòu)件在連接點(diǎn)處拆開，兩構(gòu)件上連接點(diǎn)處的運(yùn)動軌跡重合，則該連接帶入虛約束。如圖1-15a所示機(jī)構(gòu)中，若將桿3和桿5在E點(diǎn)拆開，因?yàn)闂U3上E點(diǎn)的軌跡和桿5上E點(diǎn)的軌跡重合，所以桿5對桿3的約束為虛約束。在計(jì)算該機(jī)構(gòu)自由度時(shí)，應(yīng)當(dāng)先去除桿5，即轉(zhuǎn)化成如圖1-15b所示的機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖，則該機(jī)構(gòu)自由度為F=3×3-2×4-0=1。若不去除虛約束，直接按如圖1-15a所示機(jī)構(gòu)簡圖計(jì)算自由度，則得到F=3×4-2×6-0=0，這顯然是錯(cuò)誤的。
圖1-15 平行機(jī)構(gòu)中的虛約束
1-5虛約束
2）重復(fù)的移動副。當(dāng)兩構(gòu)件之間組成多個(gè)導(dǎo)路平行的移動副時(shí)，只有一個(gè)移動副起作用，其余都是虛約束。如圖1-16所示機(jī)構(gòu)中，頂桿1與氣缸體2之間組成兩個(gè)導(dǎo)路平行的移動副，其中之一為虛約束。
3）重復(fù)的轉(zhuǎn)動副。當(dāng)兩構(gòu)件之間組成多個(gè)軸線重合的轉(zhuǎn)動副時(shí)，只有一個(gè)轉(zhuǎn)動副起作用，其余都是虛約束。如圖1-17所示機(jī)構(gòu)中，為了增加軸的剛度，該軸與機(jī)架組成了三個(gè)轉(zhuǎn)動副，這時(shí)只有一個(gè)轉(zhuǎn)動副起作用，其余均為虛約束。
4）重復(fù)的高副。如圖1-18所示輪系，為了改善受力情況，中心輪1通過兩個(gè)對稱布置的小齒輪2和2′驅(qū)動內(nèi)齒輪3。其中有一個(gè)小齒輪對傳遞運(yùn)動不起獨(dú)立作用，該小齒輪的加入，使機(jī)構(gòu)增加了一個(gè)虛約束（加入一個(gè)構(gòu)件增加三個(gè)自由度，但組成一個(gè)轉(zhuǎn)動副和兩個(gè)高副，將會引入四個(gè)約束）。
圖1-16 兩構(gòu)件組成多個(gè)移動副
圖1-17 兩構(gòu)件組成重合轉(zhuǎn)動副
圖1-18 對稱結(jié)構(gòu)的重復(fù)的高副
例1-6 計(jì)算如圖1-19a所示篩料機(jī)構(gòu)的自由度。
圖1-19 篩料機(jī)構(gòu)
解：由圖可知，機(jī)構(gòu)中的滾子有一個(gè)局部自由度；頂桿與機(jī)架在E點(diǎn)和E′點(diǎn)組成兩個(gè)導(dǎo)路平行的移動副，其中之一為虛約束；C點(diǎn)處是復(fù)合鉸鏈。現(xiàn)將滾子與頂桿焊成一體，去掉移動副E′，算清楚C點(diǎn)轉(zhuǎn)動副數(shù)為2。由圖1-19b可得n=7、PL=9、PH=1，故F=3×7-2×9-1=2。機(jī)構(gòu)自由度等于2，需具有兩個(gè)原動件。
例1-7 計(jì)算如圖1-20所示機(jī)構(gòu)的自由度。
解：由圖可知，凸輪和大齒輪焊接在一起，為一個(gè)活動構(gòu)件，機(jī)構(gòu)中的滾子有一個(gè)局部自由度D；I點(diǎn)和J點(diǎn)組成兩個(gè)導(dǎo)路重合的移動副，其中之一為虛約束；F點(diǎn)處是復(fù)合鉸鏈。現(xiàn)將滾子與頂桿焊成一體，去掉局部自由度D和滾子，算清楚F點(diǎn)轉(zhuǎn)動副數(shù)為2。
由上述可知該機(jī)構(gòu)中共有9個(gè)轉(zhuǎn)動副，1個(gè)移動副，1個(gè)復(fù)合鉸鏈，2個(gè)高副，所以n=9、PL=12、PH=2，故F=3×9-2×12-2=1。機(jī)構(gòu)自由度等于1。
圖1-20 機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算
3.平面機(jī)構(gòu)具有確定相對運(yùn)動的條件
由前述可知，機(jī)構(gòu)的自由度是機(jī)構(gòu)中各活動構(gòu)件相對機(jī)架所具有的獨(dú)立運(yùn)動個(gè)數(shù)，機(jī)構(gòu)要想運(yùn)動，其自由度必須大于零。由于每一個(gè)原動件只可從外界接受一個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動規(guī)律，因此，當(dāng)機(jī)構(gòu)的自由度為1時(shí)，只需有一個(gè)原動件；當(dāng)機(jī)構(gòu)的自由度為2時(shí)，則需有兩個(gè)原動件。故機(jī)構(gòu)間具有確定相對運(yùn)動的條件是機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目等于原動件數(shù)目且自由度大于零。
若自由度數(shù)目大于原動件數(shù)目，則機(jī)構(gòu)運(yùn)動不確定；若自由度數(shù)目小于原動件數(shù)目，則機(jī)構(gòu)將在最薄弱的環(huán)節(jié)斷開。
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